基本不等式丨高中数学
1.基本不等式
这是我们一般说的基本不等式:对非负实数
等号成立当且仅当
事实上,这个不等式来自于
即
再令
其中
等号成立条件也即
2.基本不等式链
从上面的不等式,我们可以得到其他的不等式,如:
对正实数
其中,我们已经证明了
证明:
我们先证明:
要证
只需证
即证
即证
即证
显然成立,且等号成立当且仅当
再证明:
要证
只需证
由
且 等号成立当且仅当
注:
上面的不等式链可简记为 “调几算方”.
3.基本不等式的应用
一般地,基本不等式用于处理最值的求解及其相关的证明。这里我们按照所给条件的类型来讨论。
3.1和式条件
这里指和为定值的条件,例如正实数
事实上,这三个条件可以说是完全一致,因为:
对
就得到
例 1. 已知正实数
解析: 方法一:由基本不等式链得
故
等号成立当且仅当
故答案为 4.
方法二 (化齐次): 将
即
等号成立当且仅当
这时候其实有一些问题:如果不能直接用基本不等式链或者
这个例题我们解决这两个问题:
例 2. 已知正实数
解析:这里就不能直接用不等式链了,考虑化齐次,为此,将
等号成立当且仅当
即
另外,化齐次不只可以通过乘法,还可以通过直接代换
例 3. 已知正实数
直接乘
这时候需要处理的是
所以,我们这次避开这个部分,只对剩下的部分化齐次.
等号成立当且仅当
即
3.2积式条件
这里指积为定值的条件,例如正实数
例 4. 已知正实数
解析:
等号成立当且仅当
例 5. 已知正实数
解析:这个题目第一次见的话看起来会比较怪异,当然,我们可以把
于是
等号成立当且仅当
故答案为
另解:实际上,求
简单说一下这个因式分解:
例 6. 已知正实数
解析:
于是
故
即
等号成立当且仅当
即
3.3其他
这里给出一些没有直接给出定值条件的问题.
例 7. 已知
解析:求最小值,考虑凑积定值:
注意到
于是
等号成立当且仅当
当然,换元
即求
例 8. 已知 0 “>
解析:求最小值,考虑凑积定值; 这里有一个二次一个负一次,为了凑定值,将一个负一次对半拆分成两个负一次,即
等号成立当且仅当
即
例 9. 已知 0 “>
解析:
考虑将
令
等号成立当且仅当
例 10. 设正实数
解析:容易发现
等号成立当且仅当
于是
令
故答案为
推广:设正实数
则
解析:同上,我们有
于是
其中
故答案为
4.补充
4.1多元基本不等式
我们看一下一般的多元基本不等式
其中
等号成立当且仅当序列
常用的是三元的,即
其中
等号成立当且仅当
证明在后面给出.
4.2待定系数法的应用
例 11. 已知正实数
解析:这个题目难的地方就是分子,如果是
相加即得
故
等号成立当且仅当
所以,我们采取类似的思路,仍然使用基本不等式,但考虑一个参数
于是
相加得到
即
为得到
解得
故
即得
等号成立当且仅当
这便是待定系数法的基本应用,我们再来看下面这个例子:
例 12.
解析:考虑不等式:
其中
为在
令
且利用
即
故
由 $\begin{align}
解得
代入
得
即
等号成立当且仅当
故答案为
例 13. 设正实数
解析:我们很容易猜到取等条件为
又恰好有
$\begin{align} x^2+y^2+z^2&=(x^2+1)+(y^2+1)+(z^2+1)-3\ &\geq2x+2y+2z-3\ &=2(x+y+z)-\color{blue}{3\sqrt[3]{xyz}}\ &\geq2(x+y+z)-\color{blue}{(x+y+z)}\ &=x+y+z \end{align}$
变式:设正实数
解析:考虑待定系数,设正整数
易知不等式在
为使得右边出现
得
于是,有
$\begin{align} (x^{2021}+2020)+(y^{2021}+2020)+(z^{2021}+2020) &\geq 2021(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}) \end{align}$ ,
即
又
所以
$\begin{align} x^{2021}+y^{2021}+z^{2021} &\geq 2021(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020} )-3\times2020\ &\geq 2021(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020} )-2020(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020})\ &=(x^{2020}+y^{2020}+z^{2020}) \end{align}$
两个等号成立都是当且仅当
例 14. 已知正实数
解析:这里,为了尽可能简化条件,选择将
这里注意 0\iff \color{blue}{\dfrac{1}{2}<\dfrac{m}{n}<3}”>
等号成立当且仅当
正文到这里结束.
附录:
我们证明对任意正整数
令
即 $b_1+b_2+\cdots+b_n
由
最后,我们证明 $\dfrac{x1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}
(法二) 这里只证明
容易证明不等式:
记
令
则有
累乘得
即 $An\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
为例题 11、例题 12 补充了两个习题:例题 11、例题 12 补充.
这里补充了一些更高层次的习题,偏向竞赛基础内容,有兴趣的可以点进去看看:
感谢阅读!
5.参考
6.后记
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